Статика

Задача С1

Жесткая рама (рис. С 1.0 — С 1.9, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ₁ или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

На раму действуют пара сил с моментом М = 60 Н*м и две силы, величины которых, направления и точки, приложения указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действуют сила F₁ = 10 Н под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная а точке К, и сила F₄ = 40 Н под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке Н).
Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять а = 0,5 м.

Задача С2

Однородные брусья АС весом Р₁ = 15 Н и BD (или ВС) весом Р₂ = 25 Н, расположены в вертикальной плоскости (рис. С2.0 — С2.9, табл. С2). В точке С брусья или свободно опираются друг о друга (рис. 0 — 5) или соединены шарниром (рис. 6 — 9). Внешними связями являются шарнир в точке А, невесомый стержень КК1, шарнир в точке В (на рис. 0 — 5), выступ Н (на рис. 6) и гладкая плоскость (на рис. 7 — 9 в точке В).

На брусья кроме сил тяжести действуют пара сил с моментом М = 50 Н*м и сила, величина которой, направление и точка приложения указаны в табл. С2 (например, по условиям № 1 таблицы на брус действует сила F₂= 20 Н, приложенная в точке Е и направленная под углом α2=30° к горизонтальной оси).

Определить реакции связей в точках А, В, С и К (на рис. 6 в точках А, С, К и Н). При окончательных расчетах принять а = 0,2 м.

Задача С3

Однородная прямоугольная плита весом Р=3 кН со сторонами АВ = 3а, ВС = 2а закреплена в точке А сферическим, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС′ (рис. С3.0 — С3.9).

На плиту действуют пара сил с моментом М = 5 кН*м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Величины этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С3; при этом силы F₁ и F₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила F₂ — в плоскости, параллельной хz, и сила F₃ — в плоскости, параллельной уz. Точки приложения сил (D, Е, Н) находятся в серединах сторон плиты.

Определить реакции связей в точкам А, В и С. При подсчетах принять а = 0,8 м.

Кинематика

Задача К1

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0—К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями х = f₁(t), y=f₂(t), где х и у выражены в сантиметрах, t — в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость х = f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f₂(t) дана в табл. К1 (для рис. О — 2 в столбце 2, для рис. 3 — 6 в столбце 3, для рис. 7 — 9 в столбце 4). Как и в задачах С1—С5, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 — по последней.

Задача К2

Плоский механизм состоит из стержней 1 — 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами (рис. К2.0 — К2.9). Длины стержней равны: l₁=0,4 м, l₂=1,2 м, l₃=1,4 м, l₄=0,8 м.

Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех рисунках и точка К на рис. 7 — 9 в середине соответствующего стержня. Определить величины, указанные в таблице в столбце «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т. е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 — oт стержня АЕ по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость vB — oт точки В к b.

Задача К3

Прямоугольная пластина (рис. К3.0 — К3.5) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рис. К3.6 — К3.9) вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω), заданной в табл. К3 (при знаке минус направление ω противоположно показанному на рисунке). Ось вращения на рис. 0 — 3 и 8,9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 4 — 7 ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0 — 5) или по окружности радиуса R, т. е. по ободу пластины (рис. 6 — 9), движется точка М. Закон ее относительного движения, выражаемый уравнением s=AM=f(t) (s — в сантиметрах, t — в секундах), задан в табл. К3 отдельно для рис. 0 — 5 и для рис. 6—9, при этом на рис. 6 — 9 s=AM и отсчитывается по дуге окружности; там же даны размеры а и h. На всех рисунках точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1 с.

Динамика

Задача Д1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость v₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0—Д1.9, табл. Д1); угол наклона α = 30°. На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя величины своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него, кроме силы тяжести, действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице (силы F_x, Q и R даны в таблице в ньютонах; единицу измерения коэффициента μ должен определить и указать решающий задачу).

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x=f(t), где x = BD.

Задача Д2

Груз 1 массой m укреплен на пружинной подвеске в лифте (рис. Д2.0 — Д2.9, табл. Д2). Лифт движется вертикально по закону z=1/2*a₁t²+a₂*sin(ωt)+a₃*cos(ωt) (ось z направлена по вертикали вверх; z выражено в метрах, t — в секундах). На груз действует сила сопротивления среды R =μv, где v — скорость груза по отношению к лифту.

Найти закон движения груза по отношению к лифту, т.е. х = f(t): начало координат поместить в положении статического равновесия груза при неподвижном лифте. При подсчетах можно принять g = 10 м/с². Массой пружин и соединительной планки 2 пренебречь.

В таблице обозначено: с₁, с₂, с₃ — коэффициенты жесткости пружин, λ_ст — статическое удлинение пружины с эквивалентной жесткостью, λ₀ — удлинение пружины с эквивалентной жесткостью в начальный момент времени t₀=0, v₀ — начальная скорость груза по отношению к лифту (направлена вертикально вверх). Прочерк во всех столбцах c₁, c₂, c₃ стоит, когда задано λ_ст (пружину с эквивалентной жесткостью считать в этом случае прикрепленной к потолку лифта), а прочерк в одном из столбцов означает, что соответствующая пружина отсутствует и на чертеже изображаться не должна. Если при этом конец одной из оставшихся пружин окажется свободным, его следует прикрепить в соответствующем месте или к грузу или к потолку (полу) лифта; то же следует сделать, если свободными окажутся соединенные планкой 2 концы обеих оставшихся пружин. Условие μ = 0 означает, что сила сопротивления R отсутствует. Найти: x(t).

Задача Д4

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней R₁=0,3 м, r₁=0,1 м, R₂=0,2 м, r₂=0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу), грузов 3 и 4 (коэффициент трения скольжения грузов о плоскость f = 0,1) и цилиндрического сплошного однородного катка 5 (рис. Д4.0—Д4.9, табл. Д4). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием силы F=f(S), зависящей от перемещения S точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные соответственно М₁ и М₂.

Определить значение искомом величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы F равно S₁. Искомая величина указана в столбце Найти таблицы, где обозначено: ω₁ - угловая скорость тела 1, v₃ — скорость груза 3, v_С5 — скорость центра масс катка 5 и т.д.

Задача Д8

Механическая система состоит из тел 1, 2, …, 5 весом Р₁, Р₂,…, Р₅, связанных нитями, намотанными на ступенчатые блоки 1 и 2 (рис. Д8.0 — Д8.9, табл. Д8). Прочерк в столбцах таблицы, где заданы веса, означает, что соответствующее тело в систему не входит (на чертеже не изображать), а ноль — что тело считается невесомым, но в систему входит.

При вычислении моментов инерции оба блока и катки считать однородными цилиндрами радиуса R.

На систему кроме сил тяжести действуют сила F, приложенная к телу 4 или 5 (или к соответствующему концу нити, когда тело в систему не входит), и пары с моментами М₁ и М₂, приложенные к блокам, при М<0 направление момента противоположно показанному на рисунке.

На участке нити, указанном в таблице в столбце Пружина, включена пружина с коэффициентом жесткости с (например, если в столбце стоит АВ, то участок АВ является пружиной, если АD, то АD — пружина, и т. д.); в начальный момент времени пружины не деформированы.

Составить для системы уравнения Лагранжа и определить из них частоту и период колебаний, совершаемых телами системы при ее движении.

Если в решаемом варианте задачи тележка в систему не входит (ее вес в таблице прочеркнут), а вес лежащего на ней катка 4 (или 5) задан, то этот каток следует считать движущимся по плоскости, на которой в исходном рисунке стоит тележка (тележку не изображать, а плоскость приподнять до касания с катком, т. е., например, изобразить каток и плоскость так, как это показано на рис. Д8.10 для катка 4. Составить уравнения Лагранжа, k-?, τ-?

Задача Д9

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3—6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R₁ = 0,2 м, r₁ = 0,1 м, а шкива 2 — R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,15 м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ₁ = 0,1 м и ρ₂ = 0,2 м.

Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса Р₁,…, Р₆ шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).

Задача Д10

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3—6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R₁ = 0,2 м, r₁ = 0,1 м, а шкива 2 — R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,15 м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ₁ = 0,1 м и ρ₂ = 0,2 м.

Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса Р₁,…, Р₆ шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).