Задача Д1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость v0, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис Д1.0 — Д1.9, табл Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок BC трубы, где на него кроме силы тяжести действует сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось x задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние AB=l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е x=f(t), где x=BD.

Задача Д2

Механизм, расположенный в вертикальной плоскости (рис. Д12.0-Д12.9), состоит из ступенчатых колес 1 и 2 с радиусами R₁=0,4 м, r₁=0,2 м, R₂=0,5 м, r₂=0,3 м, имеющих неподвижные оси вращения однородного стержня 3 длиной l=1,2 м, закрепленного шарниром на одном из концов; грузов 4 и 5, подвешенных к нитям, намотанным на колеса. На стержне расстояние АВ=2l/3.

Стержень 3 соединен с колесом 2 невесомым стержнем 6. Колеса 1 и 2 или находятся в зацеплении (рис. 0—4), или соединены невесомым стержнем 7 (рис. 5-9). К колесам и стержню 3 прикреплены пружины.

В табл. Д 12 заданы массы mi, тел (кг) и коэффициенты жесткости Ci пружин (Н/м). Прочерки в столбцах таблицы означают, что соответствующие тела или пружины в систему не входят (на чертеже эти тела и пружины не изображать); в результате в каждом конкретном варианте получается довольно простой механизм, содержащий три или даже два тела. Стержень 6 или 7 входит в состав механизма, когда в него входят оба тела, соединенные этим стержнем.

В положениях, изображенных на рисунках, механизм находится в равновесии. Определить частоту и период малых колебаний системы около положения равновесия. Найти также, чему равно статическое удлинение (сжатие) пружины λ_ст в положении равновесия.

При подсчетах считать колеса 1 и 2 сплошными однородными цилиндрами радиусов R₁ и R₂ соответственно. Найти: x(t).

Задача Д3

Механическая система состоит из грузов D₁ массой m₁=2 кг и D₂ массой m₂=6 кг и из прямоугольной вертикальной плиты массой m₃=12 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д3.0- Д3.9). В момент t₀=0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусом r=0,4 м и R=0,8 м.

При движении грузов угол φ₁=∠A₁C3D₁ изменяется по закону φ₁=f₁(t), а угол φ₂=∠A₂C₃D₂ — по закону φ₂=f₂(t). В табл. Д3 эти зависимости даны отдельно для рис. 0-4 и 5-9, где φ выражено в радианах, t — в секундах.

Считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить закон изменения со временем величины, указанной в таблице в столбце «Найти», т.е x₃=f₃(t) и N=f(t), где x₃ — координата центра С3 плиты (зависимость x₃=f₃(t) определяет закон движения плиты), N — полная нормальная реакция направляющих.

Задача Д4

Механическая система состоит из грузов D₁ массой m₁=2 кг и D₂ массой m₂=6 кг и из прямоугольной вертикальной плиты массой m₃=12 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д3.0- Д3.9). В момент t₀=0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусом r=0,4 м и R=0,8 м.

При движении грузов угол φ₁=∠A₁C3D₁ изменяется по закону φ₁=f₁(t), а угол φ₂=∠A₂C₃D₂ — по закону φ₂=f₂(t). В табл. Д3 эти зависимости даны отдельно для рис. 0-4 и 5-9, где φ выражено в радианах, t — в секундах.

Считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить закон изменения со временем величины, указанной в таблице в столбце «Найти», т.е x₃=f₃(t) и N=f(t), где x₃ — координата центра С₃ плиты (зависимость x₃=f₃(t)
определяет закон движения плиты), N — полная нормальная реакция направляющих. Найти: U(t).

Задача Д5

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R=1,2 м) массой m₁=24 кг вращается с угловой скоростью ω₀=10 с^-1 вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии ОС=b (рис. Д5.0—Д5.9, табл. Д5); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д5.0а (вид сверху).

В момент времени t₀=0 по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m₂=8 кг по закону s=AD=F(t), где s выражено в метрах, t — в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом М (задан в ньютонометрах; при М<0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость ω=f(t), т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s>0 (когда s<0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии ОС=b от центра С. Найти: ω(t)

Задача Д6

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃=0,3 м, r₃=0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ₃=0,2 м, блока 4 радиуса R₄=0,2 м и катка (или подвижного блока) 5 (рис. Д6.0 — Д6.9, табл. Дб); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 — равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s₁=0,2 м. Искомая величина указана в столбце Найти таблицы, где обозначено: v₁, v₂, v_c5 — скорости грузов 1,2 и центра масс тела 5 соответственно, ω3 и ω4 — угловые скорости тел 3 и 4.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 на рис. 2), катятся по плоскостям без скольжения.

На всех рисунках не изображать груз 2, если m₂=0; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.

Задача Д7

Барабан радиуса R весом Р имеет выточку (как у катушки) радиуса r=0,6R (рис. Д7.0-Д7.9, табл. Д7). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы F₁ и F₂, направления которых определяются углом β; кроме сил на барабан действует пара с моментом М, когда в таблице М<0, направление момента противоположно показанному на рисунке. При движении, начинающемся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α так, как показано на рисунках.
Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс С барабана, т. е. х_c=f(t), и наименьшее значение коэффициента трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.

Задача Д8

Вертикальный вал АК (рис. Д8.0 — Д8.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω = 10 с^-1, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (АВ = BD = DЕ = ЕK=а). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m = 10 кг, состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рисунках, где b=0,1м, а их массы m₁ и m₂ пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной ℓ=4b с точечкой массой m₃ = 3 кг на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы α, β, γ, φ даны в столбцах 5—8.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять а = 0,6 м.

Задача Д9

Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится под действием приложенных сил в равновесии; положение равновесия определяется углами α, β, γ, φ, θ (рис. Д9.0 — Д9.9, табл. Д9а и Д9б). Длины стержней механизма (кривошипов) равны: l₁=0,4 м, l₄=0,6 м (размеры l2 и l3 произвольны); точка Е находится в середине соответствующего стержня.

На ползун В механизма действует сила упругости пружины F, численно F=cλ, где с — коэффициент жесткости пружины, λ — ее деформация. Кроме того, на рис. 0 и 1 на ползун D действует сила Q, а на кривошип О₁А — пара сил с моментом М; на рис. 2-9 на кривошипы О₁А и О₂D действуют пары сил с моментами M₁ и М₂.

Определить, чему равна при равновесии деформация λ пружины, и указать, растянута пружина или сжата. Значении всех заданных величин приведены в табл. Д9а для рис. 0—4 и в табл. Д9б для рис. 5—9, где Q выражено в ньютонах, а М, M₁, М₂ — в ньютоно-метрах.

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; для большей наглядности ползун с направляющими и пружину изобразить так, как в примере Д9 (см. рис. Д9, а также рис. Д9.10, б). Если на чертеже решаемого варианта задачи прикрепленный к ползуну В стержень окажется совмещенным с пружиной (как на рис. Д9.10. а), то пружину следует считать прикрепленной к ползуну с другой стороны (как на рис. Д9.10,б, где одновременно иначе изображены направляющие). Найти: λ.

Задача Д10

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3-6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д10.0 — Д10.9, табл. Д10). Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R₁=0,2 м, r₁=0,1 м, а шкива 2 — R₂=0,3 м, r₂=0,15 м; их радиусы инерции относителыно осей вращения равны соответственно ρ₁=0,1 м и ρ₂=0,2 м.

Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса Р₁, …, Р₆ шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).

Задача Д11

Механическая система состоит из тел 1, 2,…5 весом P1, Р2,…,P5 соответственно, связанных друг с другом нитями, намотанными на ступенчатые блоки 1 и 2 (рис. Д11.0 — Д11.9, табл. Д11). Радиусы ступенчатых блоков 1 и 2 равны соответственно R₁=R, r₁=0,4R, R₂=R, r₂=0,8R. При вычислении моментов инерции все блоки, катки и колеса считать однородными сплошными цилиндрами радиуса R.

На систему кроме сил тяжести действует сила F, приложенная к телу 3 или 4 (если тело 3 в систему не входит, сила приложена в точке В к тележке), и пары сил с моментами М₁, М₂, приложенные к блокам 1 и 2; когда М<0, направление момента противоположно показанному на рисунке.

На участке нити, указанном в таблице в столбце «Пружина», включена пружина с коэффициентом жесткости с (например, если в столбце стоит АВ, то участок АВ является пружиной, если AD, то AD — пружина и т.д.); в начальный момент времени пружина не деформирована.

Составить для системы уравнения Лагранжа и найти закон изменения обобщенной координаты х, т. е. х=f(t), считая, что движение начинается из состояния покоя; определить также частоту и период колебаний, совершаемых телами системы при ее движении (о выборе координаты х см. Указания).

Прочерк в столбцах таблицы, где заданы веса, означает, что соответствующее тело в систему не входит (на чертеже не изображать), а ноль — что тело считается невесомым, но в систему входит; дли колес, обозначенных номером 4, P₄ — их общий вес (вес платформы такой тележки не учитывается). R₁=R, r₁=0,4R, R₂=R, r₂=0,8R.

Задача Д12